Оптимальный размер заказа. Оптимальный размер заказа по формуле вильсона Модель экономически выгодных размеров заказываемых партий

Существование товарных запасов как категории товарного обращения обусловлено необходимостью обеспечения непрерывного процесса обращения товаров. Товарные запасы являются важным элементом деятельности торговых организаций.

До недавнего времени считалось, что чем больше у организации запасов, тем лучше. В современных экономических условиях эффективная работа организации требует иного подхода как к категории запасов, так и к методике управления ими. Прежде чем инвестировать денежные средства в запасы, руководству организации необходимо учесть, что при этом оно отказывается от альтернативных вариантов инвестирования. Следовательно, требуется определить уровень оптимального запаса, и этот уровень должен стать ориентиром, относительно которого будет оцениваться эффективность всей системы управления запасами в организации.

В основу управления товарными запасами положены различные оптимизационные модели, наработанные экономической наукой и позволяющие не только планировать и контролировать формирование и рациональное использование запасов в торговле, но и минимизировать расходы, связанные с этими процессами. Кроме того, оптимизация процесса управления товарными запасами предполагает и решение вопросов относительно периодичности их пополнения, а также величины заказов.

Среди наиболее применяемых в торговле моделей управления запасами можно выделить следующие:

Модель с фиксированным размером заказа;

Модель с фиксированным интервалом между заказами;

Модель управления запасами с двумя уровнями (Ss система).

Рассмотрим возможности применения моделей оптимизации товарных запасов на примере двух товарных позиций по одному из крупных супермаркетов г. Обнинска «Родной»: водка «Пять озер» и молоко Обнинского завода. Выбор данных позиций объясняется стабильностью спроса на данные товары, а также налаженностью каналов их сбыта.

Модель с фиксированным размером заказа

Определяющим моментом при использовании модели фиксированного размера заказа является расчет затрат на хранение и формирование заказа.

Стоимость хранения запасов включает три основных составляющих: непосредственная стоимость содержания запасов, стоимость капитала, замороженного в запасах, и расходы, связанные с естественной убылью.

· затраты на оплату труда работников магазина, непосредственно связанных с движением запасов;

· размер коммунальных услуг;

· величину амортизационных отчислений;

· расходы на подработку и подсортировку товаров и др.

Согласно проведенным расчетам, общая стоимость хранения запасов по супермаркету за год составила по водке - 68 170,70 руб., по молоку - 478,23 руб., в расчете на единицу запаса - 46,34 руб. по водке и 2,3 руб. по молоку.

В целях определения затрат по формированию заказа, как известно, применяется хронометраж деятельности структурных подразделений, отвечающих за формирование заказа, или рассчитывается средняя величина стоимости формирования заказа посредством деления расходов коммерческой службы на количество сделанных заказов. Рассчитанная таким образом стоимость формирования заказа по супермаркету «Родной» составила 53,15 руб./заказ.

Применение модели с фиксированным размером заказа предполагает также наличие информации относительно сбыта товаров за период. Согласно аналитическим данным, сбыт водки по супермаркету за год составил 15 503 шт., молока - 9 178 шт.

Расчет оптимального размера заказа проводится по формуле Уилсона:

где Q - размер партии;

D - общий объем спроса (сбыт);

H и S - издержки (затраты) по хранению товара и по выполнению заказа (затраты на приобретение).

Применение приведенной формулы позволяет получить следующий результат расчета оптимального размера заказа:

По водке - 188,58 шт.;

По молоку - 651,29 шт.

Однако полученные данные непригодны для применения, их необходимо скорректировать.

Во-первых, оптимальный размер заказа должен быть целым числом, так как невозможно заказать полбутылки водки или полпачки молока, т.е. заказ должен составлять 188 или 189 бутылок водки, 651 или 652 пачек молока соответственно.

Во-вторых, по молоку ограничением является срок годности, который равен трем дням. Учитывая, что среднедневной объем реализации молока составляет 25 шт., нецелесообразно заказывать количество товара, которое не будет реализовано. Таким образом, заказа молока не может превышать 75 шт.

В-третьих, продукция заказывается целыми коробками. По результатам расчетов, оптимальный размер заказа водки - 7,54 коробки. Для определения оптимального размера заказа с учетом отмеченного ограничения рассчитаем расходы, связанные с формированием и хранением запасов различной величины. Затраты на содержание 7 коробок (175 шт.) водки - 8 763,23 руб. в год, 8 коробок (200 шт.) - 8 753,92 руб. в год. С учетом этого ограничения партия поставки молока будет соответствовать 2 коробкам (60 шт.), а затраты, связанные с формированием запасов молока в количестве 60 шт., - 8 199,18 руб. в год.

Таким образом, согласно данной модели оптимальный размер заказа составляет:

По водке - 8 коробок (200 шт.);

По молоку - 2 коробки (60 шт.).

При этом годовая сумма затрат составит: по водке - 8 753,92 руб. в год, по молоку - 8 199,18 руб. в год. Эти значения удовлетворяют всем ограничениям и минимизируют совокупные расходы супермаркета по хранению и заказу товаров.

Следующим шагом в применении модели управления запасами с фиксированным размером заказа является определение точки заказа. Для этого используется формула:

Р = В + Sd L, (2)

где В - резервный (страховой) запас;

Sd - средний суточный сбыт;

L - время доставки товара.

Согласно аналитическим данным, время доставки товара по супермаркету по водке составляет 1 день, по молоку - 2 дня.

Среднесуточный сбыт водки - 42 шт., молока - 25 шт.

Величина резервного запаса по водке, рассчитанная экспертным путем, - 62 шт., по молоку - 19 шт. Таким образом, точка заказа составляет:

По водке: 62 + 42 * 1 = 104 шт.

По молоку: 19 + 25 * 2 = 69 шт.

Расчет точки заказа свидетельствует о том, что согласно сложившемуся уровню сбыта и времени поставки товаров по супермаркету, а также учитывая вероятность возникновения отклонений от данных показателей, при достижении запасов водки величиной в 104 шт. формируется заказ на 200 шт. (8 коробок), который доставляется в течение одного дня. При достижении запасов молока величиной 69 шт. формируется новый заказ на 60 шт. (2 коробки), которые доставляются в течение 2 дней с момента возникновения потребности в запасе. При этом предполагается, что ведется постоянный контроль уровня запасов.

При использовании данной системы управления запасами средняя величина запаса соответствует величине резервного запаса, увеличенной на половину оптимального размера заказа, т.е. средняя величина запасов составит:

По водке - 162 шт.: 62 + (200/2);

По молоку - 49 шт.: 19 + (60/2).

Общие годовые затраты на управление запасами будут включать затраты, связанные с формированием заказа, хранением товарных запасов, а также хранением резервного запаса. По водке общие затраты за год составят 11 961,52 руб., по молоку - 8 242,88 руб.

Модель управления запасами с фиксированным интервалом между поставками (модель с постоянным уровнем запасов)

Данная модель предусматривает расчет максимального уровня запасов. Она может использоваться без учета затрат на хранение и формирование заказа и не основываясь на модели оптимального размера заказа. Размер заказа товара определяется как разница между рассчитанным максимальным уровнем запаса и фактической величиной запасов на момент проверки товара на складе. При этом проверка наличия запасов осуществляется через равные промежутки времени.

Максимальный заказ определяется как сумма среднего спроса за один цикл и резервного (страхового) запаса. При расчете резервного запаса нужно учитывать, что повышение спроса может вызвать дефицит в промежутке времени поставки и времени между проверками. Величина резервного запаса для данной модели будет отличаться от рассчитанной величины резервного запаса для модели с фиксированным размером заказа. Это отличие будет состоять в величине промежутка времени между проверками фактического наличия запасов. Время, в течение которого существует угроза дефицита, есть L, т.е время поставки, и R, т.е. время цикла или время между проверками. Тогда формула расчета максимального уровня запаса выглядит так:

М = Sd * (L + R) + В, (3)

где R - длительность промежутка времени между проверками товарных запасов на складе.

Размер заказа зависит от размера сбыта и времени проведения последней проверки. Средний уровень запасов составляет:

J = B + 1/2 * Sd R (4)

Увеличение резервного (страхового) запаса представляет собой плату за удобство, которое дает эта система.

Таким образом, модель с фиксированным интервалом между поставками связана с повышенными расходами на поддержание резервного запаса, которые при определенном уровне стоимости запасов и колебаний спроса могут стать неоправданно большими.

Преимуществом модели с фиксированным интервалом между поставками является то, что нет необходимости каждый раз подсчитывать остаток запаса - это делается лишь тогда, когда подходит время следующего заказа. Такой порядок удобен, если контроль запасов является одной из многих обязанностей работников.

Продемонстрируем применение рассмотренной модели на примере нашего супермаркета «Родной».

Согласно аналитическим данным установлено следующее время проведения проверок по супермаркету:

По водке - через каждые пять дней;

По молоку - через каждые два дня.

Рассчитанная экспертным путем величина резервного запаса по данной модели составит:

Для водки - 140 шт.;

Для молока - 20 шт.

Максимальный уровень запасов будет соответствовать:

По водке - 392 шт.: 140 + 42 * (1 + 5);

По молоку - 120 шт.: 20 + 25 * (2 + 2)).

При использовании данной модели оптимизации запасов через каждые 5 дней для водки (2 дня для молока) проверяется фактический размер запасов, после чего формируется заказ на новую партию товара. В случае, если с момента последней проверки имела место реализация товара, размер заказа определяется как разница между установленным максимальным уровнем запаса (для водки - 392 шт., для молока - 120 шт.) и фактическим уровнем запаса.

Средняя величина запасов по данной модели равна величине резервного запаса плюс половина от объема реализации за период между проверками и составляет:

Для водки - 245 шт.: 140 + 1/2*42*5;

Для молока - 45 шт.: 20+1/2*25*2.

Согласно проведенным расчетам средняя величина запасов в случае использования модели с фиксированным интервалом между поставками выше, чем для модели с фиксированным размером заказа. Соответственно, и затраты на управление запасами будут выше. Общие годовые затраты на управление запасами будут включать затраты, связанные с формированием заказа, их хранением, а также хранением резервного запаса. По водке общие затраты согласно данной модели оптимизации запасов составят за год 14 649,24 руб., по молоку - 8 233,68 руб.

Двухуровневая модель управления запасами

Это модель с постоянным уровнем запасов, для которой установлен нижний предел размера заказа. В данной модели рассматривается максимальный уровень запасов М и используется точка заказа. Эти параметры вычисляются по формулам:

Р = В + Sd * (L + R/2) (5)

М = В + Sd * (L + R) (6)

Порядок применения данной модели можно сформулировать так: если в момент периодической проверки Jф + g0< Р, то подается заказ g = M - Jф - g0. Если же Jф + g0 > Р, то заказ не подается. При этом Jф - фактический уровень запаса в момент проведения проверки; g0 - оптимальный размер заказа.

Применение двухуровневой модели управления запасами для супермаркета позволяет получить следующие результаты:

Точка заказа по водке составляет - 287 шт. (287 = 140 + 42 * (1 + 5/2)), по молоку - 95 шт. (95 = 20 + 25 * (2 + 2/2));

Максимальная величина размера запаса составляет по водке - 392 шт. (392 = 140 + 42*(1 + 5)), по молоку - 120 шт. (120 = 20 + 25*(2 + 2)), что совпадает с результатами расчетов по модели с фиксированным интервалом между поставками.

Рассмотрение приведенных выше моделей позволяет сделать вывод о том, что для крупного супермаркета наиболее эффективно применение модели с фиксированным интервалом между поставками. Аргументами в пользу результативности применения названной модели является следующее:

1. Отсутствие необходимости расчета величины затрат на хранение запасов и формирование заказа, а также возможность отказаться от использования модели оптимального размера заказа.

Дело в том, что модель оптимального размера заказа не всегда применима в части управления товарными запасами в крупных торговых организациях. Это объясняется:

· слабым учетом затрат, не позволяющим собрать в достаточном объеме информацию о расходах, связанных с формированием и хранением запасов;

· отсутствием отдельного учета затрат, приходящихся непосредственно на склад организации;

· расположением и хранением большей части товарных запасов в торговом зале, поскольку крупные торговые организации зачастую работают по принципу самообслуживания;

· независимостью большинства статей затрат, таких как заработная плата, амортизация, коммунальные и арендные платежи, от величины запасов.

Необъективным для многих крупных торговых организаций является и расчет затрат на формирование заказа, так как большая часть поставок осуществляется централизованно для всей сети магазинов, поэтому встает проблема объективного разнесения этих затрат на конкретные виды товаров.

2. Простота модели. Этот аргумент особо актуален, особенно на первых этапах внедрения целостной системы управления запасами организации.

Согласно полученным в ходе исследования результатам оптимизация величины товарных запасов на основе модели с фиксированным интервалом между поставками позволяет руководству супермаркета значительно уменьшить размер запасов (с 1471 шт. до 245 шт. по водке; с 114 шт. по 45 шт. по молоку). Это, в свою очередь, позволит снизить затраты на содержание и заказ продукции на 56 812,84 руб. по водке (71 462,08 - 14 649,24) и на 158,7 руб. (8 392,38 - 8 233,68) по молоку. Необходимо также отметить, что снижение запасов по молоку позволит снизить сверхнормативные потери организации от порчи продукции, которые не были учтены в ходе проведения расчетов.

Применение оптимизационной модели с фиксированным интервалом между поставками только по двум товарным позициям позволяет также снизить оборачиваемость товарных запасов супермаркета, что, в свою очередь, приведет к высвобождению из оборота дополнительных денежных ресурсов и росту прибыльности деятельности организации. Учитывая, что ассортимент супермаркета насчитывает около 6 тыс. , можно смело утверждать, что оптимизация величины товарных запасов является мощным резервом повышения эффективности деятельности хозяйствующего субъекта.

Определяя размер заказа, нужно соотнести расходы на содержание запасов и расходы на размещение заказов. Главное здесь - не забывать, что средний объем запасов равен половине размера заказа. Значит, чем более крупными партиями пополняют запасы, тем больше средний объем запасов, а следовательно, и годовые расходы на их содержание.

С другой стороны, чем более крупными партиями происходит пополнение запасов, тем реже приходится делать заказы, а значит, тем меньше общие расходы на размещение заказов. Оптимальный размер заказа должен быть таким, чтобы суммарные годовые расходы на размещение заказов и на содержание запасов были наименьшими при данном объеме продаж. Это соотношение показано на рисунке 8.4. Точка, в которой сумма расходов на содержание запасов и расходов на размещение заказов оказывается минимальной, представляет наименьший возможный уровень общих издержек. Попросту говоря, нужно определить такой размер заказа или такое время между двумя поставками, при котором достигают минимума совокупные расходы на размещение заказов и на содержание запасов.
Экономичный размер заказа. Экономичный размер заказа минимизирует совокупные расходы на поддержание запасов. Для определения этой величины предположим, что уровень спроса и издержки относительно стабильны в течение года.
Поскольку экономичный размер заказа вычисляют для каждого отдельного продукта, базовая формула расчетов не учитывает возможности смешанного заказа. О расширении базовой формулы мы поговорим позднее.
Выше мы уже рассмотрели варианты, когда размер заказа равен 100, 200 и 600 единицам. Какой из них приемлем в конкретной ситуации, покажет расчет экономичного размера заказа. Вся необходимая информация содержится в таблице 8.4.
Сумма годовых расходов на размещение заказов составит 152 дол. (2400/300 х 19,00 дол.), а годовые затраты на содержание запасов - 150 дол. (300/2 х 5 х 0,20). Итак, округлив результат до числа, кратного 100 единицам продукции, мы нашли размер заказа, при котором расходы на повторение заказа и расходы на содержание запасов равны.
Самый экономичный размер заказа составляет 300 единиц, а не 100, 200 или 600. В течение года нужно разместить 8 заказов, а средний текущий объем запасов составит 150 единиц, то есть на 50 единиц больше, чем в первом рассмотренном нами варианте.
Модель экономичного размера заказа, или модель EOQ, позволяет вычислить оптимальную величину партии поставки для пополнения запасов, но в силу жестких исходных предпосылок ее применимость на практике ограничена. В основе простой модели экономичного размера заказа лежат следующие основные допущения: (1) весь спрос удается удовлетворить; (2) величина спроса известна и неизменна; (3) продолжительность функционального цикла известна и неизменна; (4) цена продукции постоянна и не зависит от срочности поставки или от размера заказа (иными словами, не существует скидок с цены продукции или с транспортных тарифов); (5) горизонт планирования бесконечен; (6) не возникает никаких эффектов в связи с множественностью видов продукции; (7) отсутствуют запасы в пути; (8) капитал не ограничен. Ниже мы покажем, что ограничения, налагаемые некоторыми из этих предпосылок, удается обойти путем расширения расчетной формулы. Главная роль простой модели - она позволяет выявить соотношения расходов на закупки и на хранение.
Для планирования запасов полезно понимать взаимосвязь между продолжительностью функционального цикла, издержками поддержания запасов и экономичным размером заказа. Во-первых, экономичный размер заказа определяется равенством годовых расходов на размещение заказов и на содержание запасов. Во-вторых, средний текущий объем запасов равен половине размера заказа. В-третьих, стоимость единицы запасов при прочих равных условиях прямо влияет на продолжительность функционального цикла: чем выше стоимость, тем чаще приходится размещать заказ.

С точки зрения логистической концепции управления на предприятии должен иметься оптимальный запас необходимых материалов и сырья, который позволяет обеспечить бесперебойную деятельность фирме при требуемом (или объективно возможном) минимальном объеме издержек. Существенное превышение оптимального объема запасов приводит к так называемому "омертвлению" оборотных средств, а слишком маленькая величина запасов может привести к существенным потерям прибыли и заказчиков из-за неудовлетворенного своевременно спроса. Оптимальный размер заказа товаров, и, следовательно, оптимальная периодичность поставок зависят от влияния следующих факторов:
- объем спроса;
- объем транспортно-заготовительных затрат;
- затрат на хранение запасов.

Размещено на www.сайт

Указанные факторы тесно связаны друг с другом. Например, потребность максимально снизить издержки по хранению запасов приводит к увеличению расходов на оформление и доставку требуемых ресурсов. Чтобы снизить расходы на повторную покупку партии товара, приходится увеличивать издержки, обусловленные содержанием дополнительных складских мощностей, и, кроме того, ухудшает уровень обслуживания потребителей. При максимальной загрузке складских мощностей существенно повышаются расходы на хранение запасов, увеличивается уровень риска возникновения неликвидных запасов, финансовых потерь из-за окончания сроков их годности и т.п. Необходимо также принимать во внимание тот аспект, что интересы разных служб внутри предприятия в отношении политики формирования запасов и определения оптимального размера заказа могут значительно отличаться. Например, отдел материально-технического обеспечения заинтересован в большинстве случаев в такой величине EOQ, чтобы приобретать по возможности больший объем ресурсов, так как может существенно улучшить условия закупки требуемых материалов (например, получить дополнительные скидки и т.п.) и расчетов, а также минимизировать претензии производственных участков относительно несвоевременного или неполного снабжения. Производственные подразделения также заинтересованы в больших объемах запасов, так как это позволяет быстро реализовывать поступающие заявки на восполнение запаса. С точки зрения отдела сбыта большой объем запасов является средством конкурентной борьбы за потребителя. Однако мнение финансовой службы, отвечающей за эффективность управления денежными потоками предприятия, будет противоположным: большая величина EOQ и, следовательно, существенный объем запасов приводят к повышению издержек на их содержание, обслуживание и хранение.

Мерой уровня оптимальности величины заказываемой партии в логистике выступает минимальный объем общих расходов на управление запасами, которые формируются из расходов на выполнение заявки и затрат по хранению запасов. Указанные виды расходов зависят от размера заказа товаров, но при этом характер данной зависимости различный. Охарактеризуем их поведение более подробно.

1. Расходы на выполнение заказа (транспортно-заготовительные расходы) - это дополнительные затраты, возникающие при приобретении материалов и зависящие от величины заявки на восполнение запаса. Расходы по выполнению заказа на партию рассчитываются путем делением величины транспортно-заготовительных расходов предшествующего периода (эта информация берется, как привило, из смет) на количество размещенных за исследуемый период заявок. Смета транспортно-заготовительных расходов включает в себя следующие виды затрат: расходы, связанные с заключением договора поставки (командировочные расходы, представительские расходы на проведение переговоров, расходы на согласование условий поставки, стоимость оформления документов, расходы на печать каталогов и т.п.); расходы на страхование, транспортные расходы; затраты на контроль исполнения заказа и т.п. Расходы на выполнение заказа как на единицу продукции, так и на объем за определенный период снижаются с ростом величины партии поставки.

2. Расходы на хранение запасов включают в себя затраты, связанные с физическим складирование товаров в соответствующих помещениях, а также потенциальные проценты на капитал, инвестированный в покупку запасов. Данные затраты выражаются в процентах от цены приобретения за определенное время. Затраты на хранение определяются средней величиной запасов. Издержки на хранение запаса в случае роста величины заказываемой партии увеличиваются линейно.

Общие затраты на управление запасами за определенный период - это сумма затрат на выполнение заказов и на хранение запасов. Оптимизация размера заказа запасов и товаров производится по двум основным факторам: во-первых, снижение затрат, во-вторых - максимизация уровня удовлетворения спроса. В настоящее время разработаны различные методы оценки оптимальности величины запасов (опытно-статистические, экономико-математические, технико-экономические и т.п.), но их объединяет то, что итогом выступает формирование такой величины запаса (в денежных измерителях или днях), который позволяет обеспечить бесперебойную деятельность предприятия при минимальной величине расходов. Охарактеризуем некоторые из таких методов более подробно. Опытно-статистический метод (метод экспертных оценок или эвристический метод) базируется на оценке статистических данных о запасах. В рамках данного метода чем более детальным является анализ, тем точнее будет информация о величине, структуре, изменениях и оборачиваемости запасов предприятия; тем эффективнее деятельность сотрудника или определенного отдела по определению оптимального размера запасов. Расчет оптимальной величины запаса выполняется посредством оценки её состояния в прошедшее время и субъективного понимания перспектив её динамики. Опыт и квалификация сотрудника делают результат его работы более приближенным к реальности.

Среди экономико-математических методов расчета оптимального размера заказа запасов наиболее часто рассматривают и применяют модель Уилсона (Вильсона). При построении данной модели минимум общих затрат получают там, где первая производная по равняется нулю, а вторая больше нуля. Полученное значение оптимального размера заказываемой партии именуют экономичным размером заказа (Economic Order Quantity, EOQ), которое обеспечивает минимальный объем общих затрат на управление. Данная формула для расчета оптимального размера заказа известна также как формула Уилсона (Вильсона). Формула расчета оптимального размера заказа (формула Уилсона (Вильсона)) следующая:

Условные обозначения в формуле Уилсона (Вильсона):
- Q - оптимальный размер заказа, единиц;
- S - объем потребности в запасе, единиц;
- А - расходы на выполнение одного заказа, руб.;
- I - расходы на содержание единицы запаса, руб.

В рассматриваемой модели при расчете оптимального размера заказа применяются следующие допущения:
- общее количество единиц, образующее годовую потребность, известно;
- уровень спроса не изменяется;
- осуществление заказов происходит немедленно;
- затраты на оформление заказа не зависят от размера партии;
- цены на приобретаемые материалы неизменны в анализируемом периоде;
- время между заказами (поставками) неизменно;
- заказ реализуется полностью;
- емкость складских мощностей не ограничена;
- оцениваются только текущие (регулярные) запасы; прочие виды запасов (например, страховые и т.п.) в расчет не принимаются.

Такое множество допущений привело к возникновению модифицированных формул Уилсона. Например, практика аренды складов, а также калькуляция расходов на хранение на складах некоторых предприятий показывают, что в большинстве случаев в расчет берется не средняя величина партии, а площадь (или объем) складского помещения, которая необходима для хранения всей полученной партии, для чего используется формула:

где: а - расходы на хранение единицы материала с учетом занимаемой площади (объема) склада, руб./кв.м (руб./м3);
к - коэффициент, учитывающий пространственные габариты единицы материала, кв.м./шт. (м3/шт.).
S - рассчитываемый объем поставки, шт.

Тогда формула для определения оптимальной величины заказа товара может быть записана в следующем виде:

Также весьма важным условием, которое требуется принимать во внимание в процессе расчета EOQ, выступает размер скидки. Не секрет, что в случае приобретения большой партии материалов большинство поставщиков предоставляет скидки, величина которых зависит от размера заказа. В большинстве случаев в работах по управлению запасами приводится дискретные зависимости, характеризующие динамику цены единицы закупаемого материала Cn от величины партии S. Здесь возникают различные варианты. В первом случае цена может меняться, а расходы на хранение остаются неизменными, т.е. не зависят от изменения цены. Во втором случае при изменении цены пропорционально изменяются расходы на хранение. Третий, наиболее общий вариант, при котором между динамикой цены и изменяющимися расходами на хранение не имеется однозначной зависимости. Таким образом, учет особенностей формулы Уилсона и ее модификаций позволяет существенно увеличить точность расчета оптимального размера поставки посредством выбора таких вариантов формулы, которая в наибольшей степени соответствует фактической практике реализации заказов и хранения партий сырья на конкретном предприятии. Указанные варианты определения оптимальной величины поставки партии расширяют границы ограничений, принятых при формировании классической формулы Уилсона-Харриса и позволяет принимать во внимание воздействие различных факторов, которые связаны с расходами на хранение партии материалов на складе и величины скидок с базовой цены в зависимости от величины заказываемой партии.

Пример расчета оптимального размера заказа

Приведем пример расчета оптимального размера заказа по формуле Уилсона в системе EOQ. Предположим, что годовая потребность в материалах составляет 1800 ед., стоимость подачи одного заказа составляет 154 у.е., затраты на содержание материала на складе составляет 30 у.е. Тогда пример расчета оптимального размера заказа товаров по формуле Уилсона будет следующим:

Q* = √((2*154*1800)/30) = 136 ед.

Расчет оптимального размера заказа онлайн. Калькулятор расчета оптимального размера заказа

В заключении приводим небольшой онлайн-калькулятор расчета оптимального размера заказа онлайн, используя который, Вы можете самостоятельно выполнить расчет оптимального размера заказа. При заполнении формы калькулятора внимательно соблюдайте размерность полей, что позволит выполнить расчет оптимального размера заказа онлайн быстро и точно. В форме онлайн-калькулятора уже содержатся данные условного примера, чтобы пользователь мог посмотреть, как работает онлайн-калькулятор расчета оптимального размера заказа товаров. Для определения EOQ онлайн по своим данным просто внесите их в соответствующие поля формы онлайн-калькулятора и нажмите кнопку "Выполнить вычисления".

Оптимальный размер заказа рассчитывается по формуле Уилсона:
где q 0 – оптимальный размер заказа, шт.;
С 1 – стоимость выполнения одного заказа, руб. (накладные расходы);
Q – потребность в товарно-материальных ценностях за определенный период времени (год), шт.;
C 2 – затраты на содержание единицы запаса, руб./шт.

Назначение сервиса . Сервис предназначен для расчета параметров системы управления запасами :

• с фиксированным размером заказа;
• с фиксированным интервалом времени между заказами.

Модель экономически выгодных размеров заказываемых партий

• скорость расходования запасов со склада - постоянная величина, которую обозначим М (единиц товарных запасов в единицу времени); в соответствии с этим график изменения величины запасов в части расходования является отрезком прямой;
• объем партии пополнения Q есть постоянная величина, так что система управления запасами - это система с фиксированным размером заказа;;
• время разгрузки прибывшей партии пополнения запасов мало, будем считать его равным нулю;
• время от принятия решения о пополнении до прихода заказанной партии есть постоянная величина Δt, так что можно считать, что заказанная партия приходит как бы мгновенно: если нужно, чтобы она пришла точно в определенный момент, то ее следует заказать в момент времени на Δt ранее;
• на складе не происходит систематического накопления или перерасхода запасов. Если через Т обозначить время между двумя последовательными поставками, то обязательно выполнение равенства: Q = МТ. Из сказанного выше следует, что работа склада происходит одинаковыми циклами длительностью Т, и за время цикла величина запаса изменяется от максимального уровня S до минимального уровня s;
• считается обязательным выполнение требования, чтобы отсутствие запасов на складе было недопустимым, т.е. выполняется неравенство s ≥ 0. С точки зрения уменьшения издержек склада на хранение отсюда вытекает, что s = 0 и, следовательно, S = Q.

Пример . Химическое предприятие производит бисульфат соды в упаковках по 50 кг. Спрос на этот товар - 20 тонн в день. Существующие мощности позволяют производить по 50 тонн в день. Стоимость наладки оборудования $100, стоимость хранения и погрузочных работ - $5 за тонну в год. Предприятие работает 200 дней в году.
Какое количество упаковок оптимально для производственного цикла? Каким будет средний уровень запасов для данного объема производственной партии? Какова примерная продолжительность производственного цикла? Сколько производственных циклов будет в году? Сколько компания сможет сэкономить в год, если снизит стоимость наладки до $25 за производственный цикл?
C2 = 5, N = 200, C1=100, Q = 20000

Наиболее распространенной моделью прикладной теории логистики является модель оптимального или экономичного размера заказа EOQ (Economic Order Quantity) . В качестве критерия оптимизации принимается минимум общих затрат C Σ , включающих затраты на выполнение заказов С з и затраты на хранение запаса на складе С x в течение определенного периода времени (год, квартал и т.п.)

где: С 0 -затраты на выполнение одного заказа, руб;

А - потребность в заказываемом продукте в течение данного периода, шт.;

С n - цена единицы продукции, хранимой на складе, руб.;

i - доля от цены С n , приходящейся на затраты по хранению;

S - искомая величина заказа, шт.

На рис.6.1 представлены составляющие затрат C 3 и C x и суммарные затраты C Σ в зависимости от размера заказа.

Из рис.6.1 видно, что затраты на выполнение заказов с увеличением размера заказа уменьшаются, подчиняясь гиперболической зависимости (кривая1); затраты на хранение партии поставки возрастают прямо пропорционально размеру заказа (линия 2); кривая общих затрат (кривая 3), имеет вогнутый характер, что говорит о наличии минимума, соответствующего оптимальной партии S 0 .

Значение оптимума S 0 совпадает с точкой пересечения зависимостей C 3 и C x . Это объясняется тем, что абсцисса точки пересечения S находится из решения уравнения

(6.2)

Рис. 6.1 Зависимость затрат от размера заказа: 1 – затраты на выполнение заказа; 2 – затраты на хранение; 3 – суммарные затраты.

(6.3)

При других зависимостях C 3 = f(S) и C x = f(S) указанного, совпадение может не наблюдаться и в этом случае необходимо применить процедуру оптимизации. Так, для функции (6.1) находим

(6.4)

Решая уравнение (6.4), приходим к формуле (6.3) для определения EOQ.

Зная S 0 , нетрудно определить количество заказов

N=A / S 0 , (6.5)

минимальные суммарные затраты за рассматриваемый период

(6.6)

время между заказами

T 3 =Д p S 0 / A=Д p / N, (6.7)

где Д р – продолжительность рассматриваемого периода.

Если речь идет о количестве рабочих дней в году, то Д p =260 дней, если о количестве недель, то Д p =52 недели.

Формула (6.3) встречается в различных источниках под следующими названиями: Уилсона (наиболее распространенная), Вильсона, Харриса, Кампа.

Формула (6.3) получена при большом количестве допущений:

· затраты на выполнение заказа C o , цена поставляемой продукции С п и затраты на хранение единицы продукции в течение рассматриваемого периода постоянны;

· период между заказами (поставками) постоянный, т.е. Тз = const .;

· заказ S o выполняется полностью, мгновенно;

· интенсивность спроса - постоянна;

· емкость склада не ограничена;

· рассматриваются только текущие (регулярные) запасы, другие виды запасов (страховые, подготовительные, сезонные, транзитные и т.д.) не учитываются.

Анализ ряда работ показал, что трактовка затрат С o , связанных с заказом, носит дискуссионный характер. Так, в большинстве работ С o включает транспортно-заготовительные затраты: от расходов на заключение договора и поиска поставщиков до оплаты услуг по доставке. Например, в работе затраты на поставку единицы заказываемого продукта включают следующие элементы:

· стоимость транспортировки заказа;

· затраты на разработку условий поставки;

· стоимость контроля выполнения заказа;

· затраты на выпуск каталогов;

· стоимость форм документов.

В других работах, например , транспортные затраты не входят в C 0 и представлены в виде дополнительных слагаемых в формуле (6.1): собственно затрат на транспортировку и затрат, связанных с запасами на время в пути.

Еще один вариант учета транспортных затрат состоит в том, что они учитываются в стоимости единицы продукции C n , поступивший на склад. Если покупатель сам оплачивает транспортные расходы и несет полную ответственность за груз в пути, то это приводит к тому, что при оценки стоимости товаров, хранящихся на складе в качестве запасов, к их закупочной цене следует прибавить транспортные расходы .

В табл.6.1 приведены результаты расчетов оптимальной партии заказа: количество заказов в год и периодичность заказа при Д p =260 дней. Из табл.6.1 видно, что формула (3) охватывает широкий диапазон величины заказов в течение расчетного периода; при этом составляющая i , связанная с оценкой затрат на хранение в основном колеблется в довольно узком диапазоне 0,2-0,25.

О распространении формулы (6.3) говорит такой факт, что фирма «Вольво» снабжает своих агентов и дилеров специальной счетной линейкой, разработанной на основе формулы Уилсона . Однако проведенные исследования показали, что даже с соблюдением всех ограничений, допущения, принятые при выводе формулы Уилсона, требуют уточнения, в частности, затраты на хранение.

В модели (6.1) предполагается, что оплата за хранение единицы продукции пропорциональна ее цене, а среднее количество находящейся на хранении продукции при постоянной интенсивности спроса на данный период времени равно

Таблица 6.1.

Исходные данные и оптимальные размеры заказа, рассчитанные по формуле Уилсона

Из рис.6.2 виден принцип получения зависимости . Так, если бы за время Т был произведен один заказ, равный потребности в заказываемом продукте А, то в среднем на хранении находилось бы А/2 продукции. Если два заказа с интервалом T/2, то среднее количество хранимой продукции было бы А/4 и т.д.

Рис.6.2 определение средней величины запаса на складе:

а) – максимальный запас А; б)-максимальный запас А/2

Однако, практика аренды складских помещений, а также расчеты затрат на хранение на складах ряда фирм, говорят о том, что как правило учитывается не средний размер партии, а площадь (или объем) склада, которая требуется для всей поступившей партии

С x = akS, (6.9)

где: а- затраты на хранение единицы продукции с учетом занимаемой площади (объема) склада, руб.\м 2 (руб.\м 3);

к- коэффициент, учитывающий пространственные габариты единицы продукции, м 2 \шт. (м 3 \шт.).

С учетом (6.9) расчетная формула для оптимальной величины заказа запишется в виде

, (6.10)

Теперь, когда становится ясным, что оплата за хранение продукции может быть связана не только с величиной , предлагается ввести более гибкую зависимость вида

C x = βC n iS, (6.11)

где: β - коэффициент, отражающий связь между долей от стоимости объема заказа и установленной арендной платой. Коэффициент β может изменяться в широких пределах.

При подстановке (6.11) в формулу (6.1) после преобразований находим

, (6.12)

При β = 0,5 приходим к зависимости (3).

Вторым не мене важным условием, которое необходимо учитывать при расчете EOQ, являются скидки. Известно, что при покупке партии товара большинство фирм дает скидки, величина которых зависит от размера партии S.

Наиболее часто в работах по управлению запасами приводится дискретные зависимости, отражающие изменение цены единицы продукции C nj от размера партии S i , рис.6.3. Здесь возможны различные ситуации. Первая, когда цена меняется, а затраты на хранение остаются такими же, т.е. не зависят от изменения цены. Вторая, когда вместе с изменением цены пропорционально изменяются затраты на хранение. Третья, наиболее общая, ситуация, при которой между изменениями цены и изменяющимися затратами на хранение не наблюдается однозначной зависимости. Для примера в табл.6.2 приведены скидки на цены и затраты на хранение в зависимости от размера партии .

Аналитическая зависимость общих издержек, связанных с запасами, записывается в виде системы уравнений для каждой j-й цены и для каждого уравнения рассчитывается оптимальная величина заказа S oj . Если величины S oj находятся внутри граничных значений j-й партии, то они сохраняются для дальнейших сравнительных расчетов. Если нет, то расчеты общих издержек производятся для граничных значений j-ой цены и они учитываются при сравнении издержек.

Рис. 6.3. Зависимости, отражающие скидки с цены продукции:

а - дискретная ("ступенчатая") зависимость и ее аппроксимация прямой, формула (6.14);

б - нелинейные зависимости скидок, формула (6.15): 1 (а 0 = 0,7; в 0 = 0,99);

2 (а 0 = 0,5; в 0 = 0,99).

Таблица 6.2

Изменение цены и затраты на хранение от размера партии

Запишем систему уравнений для общих издержек с учетом данных, приведенных в табл.6.2, а также следующих условий : А=10 6 ед.; С 0 =2,5 у.е.; β = 0,5

С помощью формулы (6.3) находим оптимальные величины заказа для каждой партии: S 01 =9130 ед.; S 02 =11180 ед.; S 03 =12910 ед.

Поскольку величины заказов S 01 и S 02 лежат в пределах граничных значений, то они должны быть выбраны в качестве оптимальных. Для третьей величины S 03 ограничение на размер партии не соблюдается, поэтому рассчитываются минимальные общие издержки на границе при S = 20 000 ед.

Проведя аналогичные расчеты для второго уравнения при S 02 , т.е. для оптимальной партии, находим С 2 min = 2000450 у.е.

Следовательно, наименьшие общие затраты, связанные с запасами, соответствуют величине партии S= 20000 ед.

При увеличении количества ступеней «лестницы скидок», вместо системы уравнений (6.13) используются непрерывные зависимости, рис. 6.3.,

(6.14)

(6.15)

где γ, a i , b i - коэффициенты.

Рассмотрим пример определения C n и коэффициента γ уравнения (6.14) на основании данных, приведенных в табл. 6.3.

Таблица 6.3

Скидки с цены за объем закупок

Из рис.6.3. видно, что можно применить разные зависимости: по минимуму, по максимуму или средней величине объема закупок при одинаковой цене за единицу товара. Если выбрана зависимость для максимальных значений, то в качестве опорных точек могут быть взяты любые значения из правого столбца таблицы, например 99 ед. и 300 ед. Тогда, уравнения для определения C n и γ запишутся в виде

5 = C n (1- γ · 99),

4 = C n (1- γ · 300).

После преобразований находим C n =5, 492, γ = 0,0009 , т.е. C s = 5,492 (1-0,0009 S), 1 £ S < 1110.

Рассмотрим зависимость (6.15), рис.6.3. б. Коэффициент a 0 отражает предельное снижение цены единицы продукции C п при S ®¥. Допустим, что коэффициент а 1 = 1 – а 0 .

Коэффициенты b 0 и b 1 позволяют охарактеризовать изменения кривой C s . Предположим, что 0 < b 0 < 1 и коэффициенты b 0 и b 1 связаны соотношением b 1 = 1 - b 0 .

В табл. 6.4. приведены значения функции C s при C n = 1 для различных величин заказа S (от 10 до 500), при а 0 =0,7 и а 0 =0,5, а также различных коэффициентах b 0 . Из анализа данных табл. 6.4. следует, что функция (6.15) позволяет довольно гибко учитывать зависимость между величиной скидки и объемом заказа.

Для примера рассчитаем коэффициенты а i и b i по данным табл. 6.3.

Поскольку предельное уменьшение цены Cmin = 3 дол., то а 0 = 3/5=0,6 и, соответственно, а 1 =0,4.

Для определения коэффициента b 0 воспользуемся значениями S = 250 ед., C s = 4,0 долл., и после подстановки в уравнение (6.15) получим:

откуда b 0 =0,996, b 1 = 1 - b 0 = 0, 004.

Определим оптимальный размер заказа с учетом скидки по формуле (6.14) и введения коэффициента β при учете оплаты за хранение. Тогда, критериальное уравнение запишется в виде

, (6.16)

Приравняв частную производную , после преобразований находим

aS 3 + bS 2 + d = 0, (6.17)

где: а = 2βγС ni ; b = -βС ni ; d = C 0 A.

Таблица 6.4

Изменение величины скидки в зависимости от объема заказа,

формула (6.15)

Для решения кубического уравнения (6.17) можно воспользоваться аналитическим или численным (итерационным) способами.

Аналитический способ . Один из вариантов сводится к следующему:

1. Вводится новая переменная y = S+(b\3a) .

2. При подстановке в уравнение (6.17), после преобразований находим:

y 3 + 3py + 2q = 0, (6.18)

где p = -b 2 /9a 2 ;

3. Число действительных корней уравнения (6.18) зависит от знака дискриминанта

D = q 2 + p 3

При D >0 действительный корень равен (формула Кардана)

При D < 0 для определения корней уравнения (6.18) используются специальные формулы.

Приближенный способ (метод итераций). Запишем уравнение (6.17) в виде

, (6.20)

где S 0 рассчитывается по формуле (6.12).

Подставив в правую часть S=S 0 , находим первое приближение S 1 и сравним с S 0 , затем подставляем S=S 1 и находим S 2 и т.д. Процесс повторяется несколько раз до достижения заданной точности.

Пример. Определим оптимальную величину заказа при учете скидок, формула (6.14), и следующих исходных данных: А=1200 ед., С 0 =60,8 у.е.; С n =29,3 у.е., i =0,22; β =0,5 и γ =0,001. Тогда, уравнение суммарных затрат запишется в виде

Для исследования зависимости C Σ =f(S), выполним вспомогательные расчеты (см. табл. 6.5) и построим график C Σ =f(S) , рис.6.4. Из рис.6.4 видно, что учет скидок приводит к изменению традиционной зависимости C Σ =f(S) ; в данном случае у зависимости суммарных затрат C Σ наблюдается не только минимум, но и максимум. Это говорит о том, что если величина заказа ограничена, например S (см. рис.6.4), то оптимальное значение S 0 совпадает с минимумом функции C Σ =f(S).